TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla trigonométrica.

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?"

La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

REPRESENTACION GRAFICA

Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
  
• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Funciones circulares recíprocas

Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

• La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
• La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
• La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x. 

 PROBLEMAS
1.-Resuelve el siguente triangulo oblicuàngulo.

                                                     Solucion:
Se determina primero la longitud de AB mediante la ley de cosenos. Puesto que AB=c entonces..
c2=(46)2+(75)2-2(46)(75) cos 135º
c2=2116+5625-(-4879.0)
c2=12620
c2=SQRT(12620)
c2=112.3


Para hallar la medida del angulo A se utiliza la ley de los senos.
De acuerdo con la figura.

SenA      Sen C
-----  =  ------
  a              c

Sen A      Sen 135°
------  =  ---------
  75            112.3


Sen A =  75( sen 135°)
               --------------
                112.3

Sen A=  75 (0.7071)
             --------------
                   112.3

Sen A= 0.47224
       A= sen-1 0.47224
       A= 28.2°


La medida del angulo B

m<A+m<A+m<C=180°
28.2+m<A+135=180°

m<B=16.8°

 2.- Resuelve el Ttriangulo oblicuangulo.
Hallar la medida del angulo C.

c2=a2+b2-2ab cos C
c2+2ab cos C= a2+b2

2ab cos C= a2+b2-c2

Cos C= a2+b2-c2
                 ----------------------
                        2ab
Cos C= (50)2+(35)2-(74)2
                 -----------------------------------------
                        2(50)(35)
Cos C=  2500+1225-5476
              -------------------
                       3500
Cos C=-0.500
<C=cos-1(0.500)
C=120º

Angulo B
                                                            Sen B        Sen C
                                                            ------   =   -------
                                                                b                c
Sen B=  b sen C
            ----------
                 c
Sen B=  35 sen 120ª
             -------------
                     74
Sen B= 0.4096
B=arc sen-1 0.4096
B= 24.2ª
Por lo tanto <A= 35.8 ya que <A=180º- <B-<C.